UNIVERSIDAD MILITAR NUEVA GRANADA Departamento de Matemáticas Programa: Ingenierı́as Álgebra Lineal 2018-II Docente: Camilo Chaparro Taller No. 4 Objetivo: Comprender los conceptos de vectores, rectas y planos. Resolver ejercicios que involucren estos conceptos. Conceptos y operaciones básicas entre vectores 1. Trazar un sistema de coordenadas derecho y ubicar los puntos cuyas coordenadas son: a) (2, 3, 4). e) (−2, −3, 4). i ) (−4, 0, 0). b) (−2, 3, 4). f ) (−2, 3, −4). j ) (4, 0, 4). c) (2, −3, 4). g) (2, −3, −4). k ) (0, 0, −4). d ) (2, 3, −4). h) (−2, −3, −4). l ) (0, 4, 0). 2. Trazar los siguientes vectores que están anclados en el origen: a) v1 = (2, 4). d ) v4 = (3, −4). g) v7 = (2, 3, 4). b) v2 = (−3, −6). e) v5 = (4, 0). h) v8 = (3, 3, 0). c) v3 = (−2, −3). f ) v6 = (0, −5). i ) v9 = (0, 0, −4). 3. En cada caso, hallar un vector anclado en el origen equivalente al vector con punto inicial P1 y punto terminal P2 : a) P1 = (2, 4), P2 = (3, 6). e) P1 = (3, −4, −2), P2 = (−2, 3, −4). b) P1 = (3, 5), P2 = (−1, −2). f ) P1 = (−1, 0, 2), P2 = (0, −1, 0). c) P1 = (−2, 0), P2 = (−3, 4). g) P1 = (a, b, c), P2 = (0, 0, 0). d ) P1 = (0, 0), P2 = (a, b). h) P1 = (0, 0, 0), P2 = (a, b, c). 4. Encontrar un vector u no nulo, cuyo punto inicial es P = (−2, 3, −4) tal que a) u tiene la misma dirección que v = (5, 6, −2). b) u tiene dirección opuesta a la de v = (5, 6, −2). 5. Sean u = (−2, 1, 3), v = (3, 0, 5), w = (4, −1, −2). Calcular los siguientes vectores: a) v − u. c) −w + u. b) 3u + 2v. d ) 3(2u − v). 6. Para los vectores del ejercicio 5, halle el vector x que satisface 3u − 2v + x = 7x + w. 7. Para los vectores del ejercicio 5, halle los escalares λ1 , λ2 y λ3 que satisfacen λ1 u + λ2 v + λ3 w = (3, 0, 5). 8. Demuestre que no existen escalares λ1 , λ2 y λ3 tales que λ1 (−2, 9, 6) + λ2 (−3, 2, 1) + λ3 (1, 7, 5) = (0, 5, 4). 9. Halle las componentes de u, v, u+v y u−v, para los vectores que se muestran en la siguiente figura. Norma de un vector 10. Encontrar la norma de v. a) v = (3, 4). c) v = (1, 3, 2). e) v = (0, −2, 0). b) v = (−2, 3). d ) v = (2, 0, −1). f ) v = (a, b, c). 11. Halle la distancia entre P1 y P2 . a) P1 = (3, 4), P2 = (5, 6). c) P1 = (3, 3, 3), P2 = (6, 0, 3). b) P1 = (−1, 2), P2 = (−1, −2). d ) P1 = (0, 0, 0), P2 = (a, b, c). 12. Verifique la desigualdad triangular para los vectores dados. a) u = (3, 4), v = (2, 5). c) u = (−3, 4, 1), v = (−2, 5, 0). b) u = (1, 3), v = (3, 9). d ) u = (1, 1, 1), v = (3, 3, 3). 13. Sea v = (2, 3, −1). Halle todos los escalares k para los cuales kkvk = 10. 14. Un vector u se dice unitario si kuk = 1. a) Demuestre que los vectores de R3 : ~i, ~j y ~k, son unitarios. b) Demuestre que si v es cualquier vector diferente de cero, el vector 1 v kvk es un vector unitario. c) Use lo anterior para encontrar un vector unitario que tenga la misma dirección que el vector v = (3, 4). d ) Halle un vector unitario con dirección opuesta a v = (−2, −3, 5). Producto punto y proyecciones 15. Hallar el ángulo entre u y v. a) u = (3, 4), v = (1, 5). c) u = (−2, 2, 3), v = (1, 7, −4). b) u = (1, 1), v = (−1, 1). d ) u = (1, 1, −1), v = (−2, −2, 2). 16. Encuentre la proyección ortogonal de u sobre v y la componente vectorial de u ortogonal a v. 17. a) u = (3, 4), v = (1, 5). c) u = (−2, 2, 3), v = (1, 7, −4). b) u = (1, 1), v = (−1, 1). d ) u = (1, 1, −1), v = (−2, −2, 2). a) Demuestre que los vectores u = (a, b), v = (−b, a) son ortogonales. b) Use lo anterior para hallar dos vectores unitarios ortogonales a (−4, 3). 18. Explique por qué cada una de las siguientes expresiones carece de sentido. a) u · (v · v). c) ku · vk. b) w + (u · v). d ) λ · (u + v). 19. Suponga que a · b = a · c y que a 6= 0. ¿Se concluye que b = c? Explique. 20. Sean p = (2, k) y q = (3, 5). Encontrar k tal que a) p y q sean paralelos. c) El ángulo entre p y q sea π/3. b) p y q sean ortogonales. d ) El ángulo entre p y q sea π/4. 21. Demuestre la identidad del paralelogramo 2 2 2 2 ku + vk + ku − vk = 2 kuk + 2 kvk . Averigüe el por qué de éste nombre. 22. Demuestre la identidad de polarización u·v = 1 1 2 2 ku + vk − ku − vk . 4 4 Averigüe el por qué de éste nombre. 23. Demuestre que si v es ortogonal tanto a w1 como a w2 , entonces v es ortogonal a λ1 w1 +λ2 w2 para todos los escalares λ1 y λ2 . 24. La desigualdad de Cauchy-Schwarz establece que para cualesquier vectores u y v: |u · v| ≤ kuk kvk . a) Demuestre la desigualdad de Cauchy-Schwarz. b) Verifique la desigualdad de Cauchy-Schwarz para u = (−1, 3, 4) y v = (0, −2, 5). Producto cruz 25. Dados los vectores u = (2, 3, −1), v = (0, 3, −2), w = (1, 5, 7), calcular a) b) c) d) e) u × v. v × u. (u × v) × w. u × (v × w). El área del paralelogramo determinado por u y v. f ) El área del paralelogramo determinado por v y w. g) El volumen del paralelepı́pedo determinado por u, v y w. 26. ¿Cuál es el error en la expresión u × v × w? Explique. Rectas y planos en R3 27. Halle todas las ecuaciones (vectorial, paramétricas y simétricas) de la recta que a) pasa por (2, 1, 3) y (1, 2, −1). b) pasa por (1, −1, 1) y (−1, 1, −1). c) pasa por (1, 2, 3) y (3, 2, 1). d ) pasa por (2, 2, 1) y es paralela a 2~i − ~j − ~k. e) pasa por (−1, −2, 5) y es paralela a −3~j + 7~k. f ) pasa por (a, b, c) y es paralela a d~k. y+1 z−5 x−2 = = . g) pasa por (4, 1, −6) y es paralela a 3 6 2 28. Demuestre que las rectas l1 : x−3 y+1 z−2 = = 2 4 −1 y l2 : x−3 y+1 z−3 = = 5 −2 2 y l2 : x−1 y+3 z+3 = = 1 2 3 son ortogonales. 29. Demuestre que las rectas l1 : x−3 y−1 z−8 = = 3 6 9 son paralelas. 30. Dadas dos rectas en el espacio, o son paralelas, o se intersectan, o son alabeadas (imagine, por ejemplo, las trayectorias de dos aviones en el cielo). Determine si las siguientes rectas, tomadas de a dos, son paralelas, se intersectan, o son alabeadas. Si se intersectan, halle el punto de intersección. l1 : x = 3 + 2t, y = −1 + 4t, z = 2 − t; t ∈ R. l2 : x = 1 + 4s, y = 1 + 2s, z = −3 + 4s; s ∈ R. l3 : x = 3 + 2r, y = 2 + r, z = −2 + 2r; r ∈ R. 31. Halle una ecuación del plano que a) pasa por (−1, 3, −2) y tiene vector normal ~n = (−2, 1, −1). b) pasa por (1, 1, 4) y tiene vector normal ~n = (1, 9, 8). c) pasa por (0, 0, 0) y tiene vector normal ~k. d ) pasa por (0, 0, 0) y tiene vector normal ~j. e) pasa por (0, 0, 0) y tiene vector normal ~i. f ) pasa por (1, 2, −4), (2, 3, 7) y (4, −1, 3). g) pasa por (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1). 32. Encontrar la ecuación del a) plano xy. b) plano xz. c) plano yz. 33. Encuentre la ecuación del plano que contiene al punto (x0 , y0 , z0 ) y es paralelo al a) plano xy. b) plano xz. c) plano yz. 34. Halle la ecuación de la recta de intersección de los planos dados. a) x − y + z = 2 y 2x − 3y + 4z = 7. b) 7x − 2y + 3z = −2 y c) 2x + 3y − 5z = 0 y −3x + y + 2z + 5 = 0. y = 0. 35. El ángulo entre dos planos se define como el ángulo agudo entre sus vectores normales. Halle el ángulo entre cada pareja de planos del ejercicio 34. 36. Halle el punto de intersección de la recta x − 9 = −5t, y + 1 = −t, z−3=t (t ∈ R) y el plano 2x − 3y + 4z + 7 = 0. 37. Halle la ecuación del plano que contiene a la recta x = −1 + 3t, y = 5 + 2t, z = 2 − t y es perpendicular al plano 2x − 4y + 2z = 9. 38. Halle la ecuación del plano que pasa por (2, 4, −1) y contiene a la recta de intersección de los planos x − y − 4z = 2 y −2x + y + 2z = 3. 39. Demostrar que los puntos (−1, −2, −3), (−2, 0, 1), (−4, −1, −1) y (2, 0, 1) pertenecen al mismo plano. 40. Tómese un K y descanse! REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA 1) GROSSMAN, Stanley. Álgebra Lineal. 6 ed. 2) ANTON, Howard. Introducción al Álgebra Lineal. 9 ed. “Nunca consideres el estudio como una obligación, sino como una oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso mundo del saber”. Albert Einstein